Родился в Петербурге в семье переехавшего в Россию английского подданного. Окончил Первую Санкт-Петербургскую гимназию, затем - Медико-хирургическую академию.

Работая в качестве ассистента хирургической лечебницы Александровской общины сестер Красного Креста, а также в хирургическом отделении Николаевского военного госпиталя, Генрих Иванович прошёл хорошую школу практического обучения.

Занимался научной деятельностью и в 1892 году защитил докторскую диссертацию, позже был утвержден в должности профессора. В 1900 году в Медико-хирургической академии по инициативе Турнера была основана первая в России кафедра и клиника ортопедии.

Турнер поднял вопрос о необходимости планомерной государственной помощи детям-калекам. Он много лет руководил работой детского приюта в Петербурге (ул. Лахтинская, 12), который в 1932 году был преобразован в Научно-исследовательский институт детской инвалидности им. Г. И. Турнера. Этот институт стал организационным и методическим центром борьбы с детской инвалидностью в нашей стране.

По инициативе Г. И. Турнера в 1926 году было создано Ленинградское общество детских ортопедов.