Сергей Львович Соболев родился 23 сентября (6 октября) 1908 года в Петербурге в семье присяжного поверенного Л.А. Соболева. В годы гражданской войны с 1918 по 1923 гг. Сергей жил в Харькове, где учился в техникуме. Программу средней школы С.Л. Соболев освоил самостоятельно, особенно увлекаясь математикой. Переехав в 1923 году из Харькова в Петроград, он поступил в последний класс 190-й школы, в которой преподавали лучшие учителя Петербурга. В 1924 году С.Л. Соболев окончил школу с отличием и на следующий год поступил на физико-математический факультет Ленинградского государственного университета. Здесь Соболев с головой ушел в изучение теории дифференциальных уравнений.

По окончании ЛГУ Сергей Львович был принят на работу в теоретический отдел Сейсмического института. Вместе с академиком В.И. Смирновым он открыл новую область в математической физике — функционально инвариантные решения, позволяющие решить ряд сложнейших задач, связанных с волновыми процессами в сейсмологии. В дальнейшем метод Смирнова-Соболева нашёл широкое применение в геофизике и математической физике.

В 1932 году С.Л. Соболев начинает работать в отделе дифференциальных уравнений с частными производными в Математическом институте им. В.А. Стеклова АН СССР.

1 февраля 1933 года в 24 года С.Л. Соболев был избран членом-корреспондентом, а 29 января 1939 года (в возрасте 30 лет) — действительным членом АН СССР по Отделению математических и естественных наук (математика).

В 1934 году Математический институт был переведен в Москву, а с ним в столицу переехал и Сергей Львович. В 1941 году в самом начале Великой Отечественной войны С.Л. Соболев был назначен директором Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР. В трудных условиях эвакуации института в Казани он многое сделал для организации в Математическом институте прикладных исследований и оказания эффективной помощи фронту.

В 1943 году после возвращения института из эвакуации в Москву С.Л. Соболев переходит на работу в Лабораторию № 2 АН СССР (ЛИПАН, Институт атомной энергии имени И.В. Курчатова), занимаясь проблемами атомной бомбы. С этого момента его фамилия надолго исчезает из средств массовой информации. Он вскоре стал одним из заместителей И.В. Курчатова и председателем Ученого совета, и вошёл в группу И.К. Кикоина, где занимались проблемой обогащения урана с помощью каскадов диффузионных машин для разделения изотопов.

За выдающиеся заслуги перед страной в деле создания атомного оружия С.Л. Соболев был удостоен в 1951 году звания Героя Социалистического труда.

В 1952 году С.Л. Соболев возглавил кафедру вычислительной математики механико-математического факультета МГУ, где выступил инициатором создания при кафедре вычислительного центра, позднее выросшего в Вычислительный центр МГУ. Центр за короткое время вошёл в число самых мощных в стране. Применение ЭВМ для решения вычислительных задач стало одной из главных забот С.Л. Соболева, начиная с момента появления первых отечественных ЭВМ. В 1956 году С.Л. Соболев загорелся идеей создания малой ЭВМ, пригодной по стоимости, размерам, надежности для институтских лабораторий. При активной поддержке С.Л. Соболева в 1958 году была разработана троичная ЭВМ «Сетунь», выпускавшаяся серийно Казанским заводом ЭВМ.

С.Л. Соболев стал одним из инициаторов создания Сибирского отделения Академии наук СССР, начавшегося со строительства Новосибирского академгородка. С 1957 по 1983 гг. С.Л. Соболев возглавлял созданный им Институт математики Сибирского отделения АН СССР (г. Новосибирск), где появились крупные математические школы в области функционального анализа, дифференциальных уравнений, математической экономики, алгебры и логики, геометрии и топологии, кибернетики. Он способствовал становлению новосибирских школ вычислительной математики и программирования. В эти годы С.Л. Соболев создал теорию кубатурных формул, предложив принципиально новый подход к численному интегрированию с помощью методов теории обобщённых функций. В 1983 году С.Л. Соболев вернулся в Москву и продолжил работать в Математическом институте им. В.А. Стеклова.

С.Л. Соболев — трижды лауреат Сталинской премии и Государственной премии СССР, обладатель золотой медали «За заслуги перед наукой и человечеством» АН Чехословакии. В 1988 году Президиум АН СССР присудил С.Л. Соболеву золотую медаль им. М.В. Ломоносова за выдающиеся достижения в области математики. Кроме того, он награжден орденами Ленина, орденом Октябрьской Революции, орденами Трудового Красного Знамени и «Знак Почета».

Скончался С.Л. Соболев 3 января 1989 года. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.