Окончил школу фабрично-заводского ученичества. Учился в планёрном кружке, в 1931 году окончил курсы Харьковского аэроклуба Общества содействия обороне, авиационному и химическому строительству, в 1935 - Одесскую военную школу пилотов.

Участник советско-финской войны 1939—1940 годов. На фронтах Великой Отечественной войны с июня 1941 года. К июлю 1942 года Покрышев совершил 211 боевых вылетов, в 38 воздушных боях сбил лично 11 и в группе 7 самолётов противника. 10 февраля 1943 года ему было присвоено звание Героя Советского Союза.

В 1954 году окончил Военную академию Генштаба. Был назначен командиром Беломорского корпуса ПВО Северного военного округа. Освоил несколько типов боевых реактивных самолётов. В 1956 году Петру Афанасьевичу присвоено воинское звание генерал-майор авиации.

С 1961 года генерал-майор Покрышев — в отставке. Работал начальником Ленинградского аэропорта.