Родился 22 июня 1925 года в Москве. В 1942 году окончил Военно-морскую спецшколу № 1. Участник Великой Отечественной войны.

В 1947 году А. П. Михайловский закончил Высшее военно-морское училище им. М. В. Фрунзе и до 1952 года служил штурманом корабля и дивизиона подводных лодок. После окончания в 1952 году Высших специальных офицерских классов подводного плавания проходил службу на Тихоокеанском флоте до 1953 года в должности старшего помощника командира подводной лодки, а затем и командира подводных лодок. В 1955 году А. П. Михайловский переведен на Северный флот. В 1961 году, после окончания Военно-морской академии, был назначен командиром атомной подводной лодки К-178 Северного флота. Эта подлодка совершила переход подо льдами Арктики с Северного флота через Берингов пролив на Тихоокеанский флот.

В период своей командирской службы А. П. Михайловский совершил ряд сложных исследовательских походов на дизельных и атомных подводных лодках в Атлантическом, Северном Ледовитом, Тихом океанах и на Средиземном море для изучения Мирового океана и его ресурсов, обеспечения запуска первого искусственного спутника Земли, поддержания мира и стратегического паритета в период «холодной войны». Одним из первых на практике осваивал применение ракетного оружия. Лично руководил стрельбами многих типов баллистических, крылатых и зенитных ракетных комплексов, состоявших на вооружении ВМФ СССР.

До 1978 года офицер-подводник последовательно занимал должности начальника штаба, командира дивизии подводных лодок, начальника штаба и командующего флотилией атомных подводных лодок Северного флота. 21 февраля 1969 года А. П. Михайловскому было присвоено воинское звание контр-адмирала, а 25 апреля 1975 года - вице-адмирала. Одновременно с военной службой он продолжал заниматься научной работой, в 1969 году стал доктором военно-морских наук. В 1976 году он окончил Высшие академические курсы при Военно-морской академии.

С апреля 1978 года вице-адмирал А. П. Михайловский - командир Ленинградской военно- морской базы. 7 мая 1980 года ему присвоено воинское звание «адмирал». В 1981-1984 годах - командующий Северным флотом. В 1985- 1988 годах А. П. Михайловский - начальник Главного управления навигации и океанографии Министерства обороны. После выхода в отставку в 1991 году стал профессором Военно-морской академии им. Н. Г. Кузнецова. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 18 февраля 1964 года за мужество и отвагу, проявленные при выполнении воинского долга, капитану 1-го ранга А. П. Михайловскому присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 11182).

Награждён двумя орденами Ленина, орденами Красного Знамени, Отечественной войны I степени, Красной Звезды, медалями, именным оружием.

Герои Петроградской стороны : краткие биографии Героев Советского Союза, Героев Социалистического Труда и почетных граждан Санкт-Петербурга, чья жизнь была связана с Петроградской стороной / составители: В. И. Щербаков, Г. М. Атаманова, И. В. Вчерашняя ; редактор: О. Капполь. - Санкт-Петербург : Златоуст, 2010.