Алексей Николаевич Крылов родился 3 августа 1863 года в поселке Висяга Ардатовского уезда Симбирской губернии. Дед Крылова участвовал во всех войнах с Наполеоном, дослужился до чина полковника, за храбрость был удостоен золотого оружия. Отец же был состоятельным помещиком, офицером, занявшимся после выхода в отставку общественной деятельностью и сельским хозяйством.

В 1878 году юный Алексей Крылов поступил в Петербургское Морское училище, которое он блестяще окончил в 1884 году. В мае 1886 была опубликована первая научная работа Крылова, связанная с устранением искажений магнитной стрелки корабельных компасов. Предлагаемое конструктивное решение было быстро внедрено на флоте.

Летом 1887 года Крылов был отправлен на стажировку на Франко-русский судостроительный завод, расположенный в Петербурге, а сразу же после этого в октябре 1888 поступил штатным слушателем на кораблестроительное отделение Морской академии.

В мае 1892 года Крылов успешно выполнил расчеты для проекта подводной лодки Степана Джевецкого, а в 1893 году свет увидела его первая работа, посвященная новому методу расчета подводной части судов.

Труды А.Н. Крылова в области теории судостроения получили мировое признание. Огромную роль в развитии научно-технических работ Алексея Николаевича сыграла его деятельность в 1900-1908 годах в должности заведующего Опытового бассейна при Морском ведомстве.

В 1910 году судостроитель получил место ординарного профессора морской академии в Николаеве. Одновременно он консультировал специалистов Балтийского и Адмиралтейского заводов, где в те годы строились самые современные российские суда. С 1911 по 1913 год Алексей Николаевич преподавал в институте инженеров путей сообщения.

По время Первой мировой войны А.Н. Крылов возглавлял правительственное правление на Путиловских заводах, в том числе участвовал в строительстве и проектировании первых русских линкоров проекта «Севастополь». Все это время кораблестроитель уделял повышенное внимание вопросам развития и совершенствования отечественного флота.

В конце 1914 года А Н. Крылова избрали членом-корреспондентом академии наук, а через два года перевели в ординарные академики по математической физике. В 1917 году он был назначен руководителем физической лаборатории академии наук. А с 1918 года стал консультантом комиссии особых артиллерийских опытов. Советское правительство высоко ценило опыт и знания Алексея Николаевича, а сам Крылов также был не против сотрудничества с большевиками, при которых его продвижение по карьерной лестнице только продолжилось. С 1919 по 1920 год он возглавлял Морскую академию. В 1921 году Алексея Николаевича отправили в Великобританию в качестве представителя советского пароходства с целью восстановления утраченных зарубежных связей в науке. В Советский Союз после этого он вернулся только в 1927 году. На протяжении нескольких лет после своего возвращения находился в должности директора физико-математического института Академии наук СССР и оставил этот пост в 1931 году.

В феврале 1939 года Алексей Крылов был удостоен ордена Ленина, ему присвоили звание заслуженного деятеля науки и техники. В 1941 году был награжден Сталинской премией первой степени. После начала Великой Отечественной войны Алексей Николаевич наотрез отказался покидать Ленинград и все же спустя некоторое время под давлением друзей отправился в Казань. В июле 1943 года Крылову было присвоено звание Героя Социалистического Труда. В Ленинград ученый-кораблестроитель вернулся в конце лета 1945 года.

В октябре 1945 года Крылов скончался в возрасте 82 лет. Его похоронили на Волковом кладбище.

Алексей Крылов написал свыше 300 статей и книг (из них около ста по теории кораблестроения), охватывающих огромный диапазон человеческих знаний и принесших ученому мировую славу: корабельные науки, механика, математика, астрономия, физика. Алексей Николаевич был блестящим знатоком истории развития наук. Им написаны замечательные по своей художественной яркости и глубине очерки, посвящённые деятельности классиков физических и математических наук – Ньютона, Лагранжа, Эйлера, Галилея, Чебышева.