Константин Райкин родился в Ленинграде, в семье выдающегося артиста эстрады, театра и кино, народного артиста СССР Аркадия Райкина (1911—1987) и актрисы Руфи Марковны Райкиной-Иоффе (1915—1989).

В 1967 году Константин Райкин закончил физико-математическую школу-интернат № 45 при Ленинградском государственном университете, в 1971 году – Высшее театральное училище имени Б. В. Щукина в Москве (художественный руководитель курса — Юрий Васильевич Катин-Ярцев).

После окончания Щукинского училища Константин Райкин получил от режиссера Галины Волчек приглашение в театр «Современник», на сцене которого играл десять лет. За это время Райкин сыграл 38 ролей, из них 15 главных в спектаклях «Валентин и Валентина», «И пойду… и пойду…» по Ф. Достоевскому (режиссёр В. Фокин), «Монумент» Э. Ветемаа (режиссёр В. Фокин), «Балалайкин и К» по М. Салтыкову-Щедрину (режиссёр Г. Товстоногов), «Двенадцатая ночь» У. Шекспира (режиссёр П. Джеймс) и других.

В 1981 году Константин Райкин перешел в Ленинградский театр эстрадных миниатюр, которым руководил его отец Аркадий Райкин. В 1982 году театр переехал в Москву и получил название Государственный театр миниатюр, а в 1987 году был переименован в Московский театр «Сатирикон». На этом этапе творческой карьеры артиста в партнерстве с отцом были сыграны такие спектакли, как «Его Величество Театр» (1981) и «Мир дому твоему» (1984).

В 1985 году состоялась премьера авторской сольной программы Константина Райкина «Давай, артист!». Райкин выступал перед зрителями как конферансье, актёр, певец, собеседник, чтец-декламатор и танцор, демонстрируя многогранность своего таланта. Программа принесла актеру всесоюзную популярность. В 1985 году Константин Райкин получил звание заслуженного артиста РСФСР.

В 1988 году, после смерти Аркадия Райкина, Константин Райкин стал художественным руководителем «Сатирикона». В 1988 году состоялась премьера спектакля «Служанки» Ж. Жене (режиссер Р. Виктюк). Эта постановка имела огромный успех и изменила творческое направление театра, до этого считавшегося театром одного артиста – Аркадия Райкина. Сохранив лучшие черты предшественника, «Сатирикон» стал первоклассным репертуарным ансамблевым театром, которому неизменно сопутствует успех в России и за рубежом.

Константин Райкин активно работает в «Сатириконе» как актер и режиссер. Его творческие достижения трижды отмечались национальной театральной премией «Золотая маска»: в 1995 году за роль Грегора Замзы в спектакле «Превращение» по произведению Ф. Кафки (совместно с Творческим центром имени Вс. Мейерхольда, режиссер В. Фокин); в 2000 году за моноспектакль «Контрабас» П. Зюскинда (режиссер Е. Невежина); в 2008 году за роль в спектакле «Король Лир». Как режиссер Константин Райкин поставил в «Сатириконе» спектакли «Маугли» (1990), «Такие свободные бабочки» (1993), «Ромео и Джульетта» (1995), «Кьоджинские перепалки» (1997), «Квартет» (1999).

В кино Константин Райкин дебютировал в 1969 году, еще будучи студентом Щукинского училища. Актер сыграл небольшую роль в фильме «Завтра, третьего апреля…». В 1971 году на экран вышел телеспектакль «Малыш и Карлсон, который живет на крыше», в котором Райкин исполнил роль Пелле. Актер также сыграл небольшую роль в фильме «Командир счастливой «Щуки». Зрителям запомнился яркий образ татарина Каюма в приключенческой картине Никиты Михалкова «Свой среди чужих, чужой среди своих».

Большой успех принесла актеру главная роль в комедийном мюзикле Владимира Воробьева «Труффальдино из Бергамо» (1976). Константин Райкин также блестяще воплотил два образа – Ученого и его Тени – в экранизации пьесы Евгения Шварца «Тень, или может быть, все обойдется» (1990, режиссер М. Казаков). В 2002 году Райкин сыграл роль сыщика Эркюля Пуаро в минисериале «Неудача Пуаро» (режиссёр С. Урсуляк). В настоящее время Константин Райкин является художественным руководителем Российского государственного театра «Сатирикон» имени Аркадия Райкина в Москве.

С 2001 года Константин Райкин преподает в Школе-студии МХАТ, передавая свой богатый сценический опыт молодому поколению артистов театра. Первые актеры-выпускники профессора Райкина заявили о себе в 2005 году дипломным спектаклем «Страна любви» по пьесе А.Н.Островского «Снегурочка». В день своего 60-летия, 8 июля 2010 года, Константин Райкин был награжден орденом «За заслуги перед Отечеством» III степени – за большой вклад в развитие отечественного театрального искусства и многолетнюю творческую деятельность, в ноябре 2011 года получил премию Георгия Товстоногова «За выдающийся вклад в развитие театрального искусства».

Константин Райкин и его отец Аркадий Райкин жили на Петроградской стороне – в доме по адресу: Каменноостровский проспект, 17. В 1994 году на доме была установлена мемориальная доска с надписью: «Здесь жил с 1956 по 1986 год выдающийся артист Аркадий Райкин» (архитектор Е. Е. Лазарева, скульптор Л. К. Лазарев). Константин Райкин выступал на церемонии открытия мемориальной доски.