Родился 29 марта (11 апреля) 1907 года, в Тифлисе (Тбилиси).

Выпускник Ленинградской Консерватории 1933 года (класс Александра Гаука). В 1936 году, после окончания аспирантуры класс Ф. Штидри, работал дирижером Оперной студии Консерватории. В 1935—36 годы Эдуард Грикуров возглавлял Оркестр Русских Народных Инструментов им. В. В. Андреева.

Награжден медалями «За оборону Ленинграда», «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941–1945 годы».

После кратковременного сотрудничества с Оркестром русских народных инструментов имени В. В. Андреева Грикуров в 1937 году начал работу в Малом оперном театре, с которым и была связана в дальнейшем вся его дирижёрская карьера. С 1944 по 1969 год он занимал пост главного дирижёра этого театра (с перерывом в 1956—1960 годах, когда руководил оркестром ЛАТОБ имени С. М. Кирова).

Поставил более тридцати спектаклей, в том числе: «Фальстаф», «Паяцы», «Золотой петушок», «Сельская честь», «Лакмэ», «Богема», «Война и мир», «Любовь к трем апельсинам», «Виринея», «Антоний и Клеопатра». Особое внимание привлекла работа Эдуарда Грикурова в возобновлении в 1965 году оперы Д. Д. Шостаковича «Катерина Измайлова»: как отмечала Софья Хентова.

Преподавал дирижирование в Ленинградской консерватории, среди его учеников — Шамгон Кажгалиев, Александр Алексеев, Вахтанг Жордания, Дмитрий Китаенко, Д. В. Смирнов.

Э. П. Грикуров умер 13 декабря 1982 года. Похоронен в Ленинграде на Богословском кладбище.