Николай Николаевич Еланский родился 2 мая 1894 года в Воронежской губернии. Окончив в 1917 году Военно-медицинскую академию (ВМА), был отправлен на фронт в качестве полкового врача, а затем участвовал в борьбе с эпидемией сыпного тифа у себя на родине. После возвращения в Петроград, Еланский занялся проблемами переливания крови. Вместе с коллегами он создал первые в СССР стандартные сыворотки для определения групп крови. В своей докторской диссертации Еланский указал на так называемые предраковые заболевания желудка.

Незадолго до войны Еланского назначили начальником кафедры общей хирургии в Военно-медицинской академии. На этом посту он занимался организацией хирургической помощи раненым во время боевых действий на Халхин-Голе и советско-финляндской войны. С первых дней Великой Отечественной войны он находился в действующей армии на должности главного хирурга Северо-Западного, 2-го Прибалтийского, 2-го Украинского и Забайкальского фронтов. В своих работах по военно-полевой хирургии он обосновал необходимость специализированного лечения раненых черепа, груди, живота, суставов и длинных трубчатых костей. Занимаясь лечением открытых инфицированных переломов костей, он предложил перфорированный штифт для внутрикостной фиксации отломков и усовершенствовал технику наложения различных швов.

В 1947 году Еланский был назначен главным хирургом Министерства обороны СССР и одновременно стал заведующим кафедрой факультетской хирургии в 1-м Московском медицинском институте. В этой должности он работал до 1955 года и много сделал для усовершенствования учебного процесса и организации хирургической службы в Советской Армии.

В 1955–1959 годах он был профессором-консультантом Военно-медицинского управления. Его учебник «Военно-полевая хирургия» выдержал пять изданий и был переведен на иностранные языки. Еланский также был автором глав в многотомном труде «Опыт советской медицины в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.»

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 30 апреля 1964 года за выдающиеся заслуги в области здравоохранения и развитии военно-полевой хирургии профессору Еланскому Николаю Николаевичу было присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».