Будущий врач родился в Грузии в крестьянской семье. Окончил Женевский университет, защитил диссертацию.

После возвращения в Россию сдал экзамены при Военно-медицинской академии в Петербурге на степень доктора медицины.

В 1910-х годах работал в Петербургском женском медицинском институте на кафедре госпитальной хирургии.

В годы первой мировой войны был призван в армию, где работал старшим врачом полевого военно-санитарного поезда.

После демобилизации перешёл на кафедру общей хирургии Петроградского медицинского института (сегодня - Первый Санкт-Петербургский государственный медицинский университет имени академика И. П. Павлова). С 1927 по 1943 год заведовал кафедрой госпитальной хирургии.

В 1932 году Джанелидзе стал научным руководителем Ленинградского института скорой помощи (впоследствии названного его именем), Председателем совета неотложной хирургии города Ленинграда. В 1939 - главным хирургом Военно-Морского Флота СССР.

В период Великой Отечественной войны ученый проводил большую работу по организации лечебно-эвакуационного обеспечения подразделений, частей и кораблей ВМФ. В первые месяцы войны он работал в блокадном Ленинграде. В 1943 году Джанелидзе назначен начальником кафедры госпитальной хирургии новообразованной Военно-морской медицинской академии.

В октябре 2018 года на здании Первого Санкт-Петербургского государственного медицинского университет имени академика И. П. Павлова (Льва Толстого ул., 6-8) была открыта мемориальная доска. Здесь Джанелидзе проработал с 1911 по 1950 год.