Родился 5 марта 1922 года в д. Слобода Волчья (ныне - Татарстан). Закончил три курса Чистопольского техникума механизации сельского хозяйства и занимался в аэроклубе. Служил в армии с 1941 года. В 1943 году закончил Ульяновскую военную авиационную школу пилотов.

Участник Великой Отечественной войны: с января 1944 года до мая 1945 - летчик, старший летчик, заместитель командира эскадрильи 566-го штурмового авиационного полка. Воевал на Ленинградском и 3-м Белорусском фронтах. Участвовал в снятии блокады Ленинграда, освобождении Прибалтики, в Восточно-Прусской операции и штурме Кенигсберга. К фе-вралю 1945 года лейтенант Чекин совершил 154 боевых вылета на штурмовку войск противника, бомбардировку его укрепленных районов. Б. С. Чекин служил в полку Ленинградского военного округа до 1946 года.

В 1952 году окончил Военно-воздушную академию. Служил заместителем командира авиаполка в строевых частях ВВС. С 1956 года - в авиации противовоздушной обороны (ПВО) в Прибалтийском округе. В 1960 году его назначили начальником разведки 11-го корпуса ПВО в Белоруссии, в 1965 году - начальником разведки 6-й отдельной армии ПВО под Ленинградом. С 1976 году полковник Чекин - в запасе.

За мужество и героизм, проявленные в боях, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 апреля 1945 года старшему лейтенанту Б. С. Чекину присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

Награжден орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, орденом Александра Невского, двумя орденами Отечественной войны I степени, орденом Отечественной войны II степени, двумя орденами Красной Звезды, орденом «За службу Родине в Вооруженных Силах СССР» III степени, медалями.

Герои Петроградской стороны : краткие биографии Героев Советского Союза, Героев Социалистического Труда и почетных граждан Санкт-Петербурга, чья жизнь была связана с Петроградской стороной / составители: В. И. Щербаков, Г. М. Атаманова, И. В. Вчерашняя ; редактор: О. Капполь. - Санкт-Петербург : Златоуст, 2010.