Родился 27 марта 1903 года в Москве.

Музыкальные способности будущего музыканта рано обратили на себя внимание окружающих и уже с семилетнего возраста начались его регулярные занятия музыкой.

В 1926 году Юрий Брюшков окончил Московскую консерваторию у Карла Киппа, а затем аспирантуру у Константина Игумнова.

В 1920 году принят в оркестр Большого театра.

В 1927 году получил диплом на Первом международном конкурсе пианистов в Варшаве. Травма пальца помешала Ю. Брюшкову принять участие в заключительном туре, но тем не менее жюри конкурса присудило пианисту диплом Первой степени.

С 1930 года начинается интенсивная концертная деятельность Ю. Брюшкова. Он выступал более чем в ста городах Советского Союза. Репертуар пианиста включал произведения Баха, Бетховена, Шумана, Шопена, Листа, русских классиков– Глинки, Чайковского, Рахманинова, Скрябина, сочинения советских композиторов - Прокофьева, Хачатуряна, Шостаковича, Кабалевского. Но именно произведения Шопена всегда были наиболее близки лирико-романтическому дарованию Ю. Брюшкова.

В 1942 – 1948 годах преподавал в московской консерватории.

В 1949 году Ю. В. Брюшкову присвоено звание заслуженного артиста РСФСР.

В 1951– 1961 годах – ректор Ленинградской государственной консерватории имени Римского-Корсакова.

В период с 1955 по 1964 год дает одиннадцать клавирабендов. В них по-прежнему первенствует Шопен, но есть и смешанные программы из Шумана, Листа, Скрябина, Дебюсси, и монографии Бетховена – его сонаты Юрий Брюшков играет на своем последнем концерте в Большом зале 23 ноября 1964 года.

Умер в 1971 году.