Родился в Тбилиси.

В 1971 году накануне окончания Ленинградского Нахимовского военно-морского училища послал телеграмму Главкому ВМФ СССР с просьбой, в порядке исключения, направить его в Ейское высшее военное авиационное училище лётчиков (ЕВВАУЛ) имени В. М. Комарова и дал обязательство вернуться на флот, на что получил согласие Адмирала Флота Советского Союза С. Г. Горшкова.

В 1975 году лейтенант Апакидзе был направлен на Балтийский флот в качестве лётчика отдельного гвардейского морского штурмового авиационного полка. К 1983 году он — заместитель командира отдельного гвардейского морского штурмового авиационного полка.

В 1986 году окончил Военно - морскую академию имени А. А. Гречко и был назначен командиром 100-го корабельного истребительного полка Центра корабельной авиации ВМФ (базовый аэродром — Саки, Крым), а позднее и начальником Центра.

26 сентября 1991 года первым из российских морских лётчиков совершил посадку на палубу тяжёлого авианесущего крейсера «Адмирал Флота Советского Союза Кузнецов» на первом российском серийном палубном истребителе Су-27К, который сегодня известен как Су-33.

В 1992 году Апакидзе был переведён на Северный флот на военный аэродром Североморск-3 и назначен начальником воздушно-огневой и тактической подготовки — старшим лётчиком смешанной корабельной авиационной дивизии ВВС СФ.

Окончив в 2000 году Военную академию Генерального штаба Вооружённых Сил Российской федерации, генерал-майор Апакидзе был назначен заместителем командующего авиацией Военно-Морского Флота.

Погиб на 48-м году жизни во время показательных выступлений на празднике в честь 85-летия военно-морской авиации в Центре боевой подготовки и переучивания лётного состава авиации ВМФ под Псковом.

Горбунов, Г. По памятным местам Посадского округа: Герой России Тимур Апакидзе / Г. Горбунов // Посадский вестник. - 2018. - № 2. - С. 3